En este brillante ensayo, al alcance de cualquier lector, el matemático estadounidense John Allen Paulos nos revela cómo nuestro analfabetismo numérico -es decir, nuestra incapacidad para comprender la ley de los grandes números y todas las probabilidades que con llevan desinforma políticas de gobierno, confunde decisiones personales y aumenta nuestra vulnerabilidad ante todo tipo de pseudociencias. ¿Por qué sabemos tan pocas matemáticas? ¿Es deliberada nuestra resistencia a entender este aspecto, cada vez más presente en la vida diaria? ¿Cuál es el coste social e individual de esta ignorancia? Para apoyar sus argumentos sobre los grandes números y las probabilidades, Paulos recurre a divertidas anécdotas ilustrativas. Comprendemos entonces sin esfuerzo por qué nos empeñamos en jugar a la lotería o en acudir a astrólogos y adivinos, por qué suspendemos viajes por temor a atentados terroristas o pensamos que poco importa un billón de pesetas de más o de menos en los presupuestos del Estado, por qué perdemos tanto tiempo en nimiedades y cometemos tantas torpezas evitables.

Dejemos, pues, de ser anuméricos, o analfabetos en matemáticas, y veremos qué, según Douglas Hofstadter, autor de Gödel, Escher, Bach, “nuestra sociedad sería totalmente distinta si cualquiera pudiera entender realmente las ideas de este importante libro … que podría constituir una auténtica revolución en la enseñanza de las matemáticas”. Y añade el gran Isaac Asimov : “Inteligente análisis de las locuras que engendra la falta de comprensión de la ciencia y de las matemáticas”.



Algunas de las cosillas que aprendí leyendo este libro que no tienen porque ser ni ciertas ni falsas ni todo lo contrario:

* El anumerismo o incapacidad de manejar cómodamente los conceptos fundamentales de número y azar, atormenta a demasiados ciudadanos que, por lo demás, puede ser perfectamente instruidos.
* A menudo se presume del analfabetismo matemático, contrariamente a lo que se hace con otros defectos, que se ocultan. Este travieso enorgullecerse de la propia ignorancia matemática se debe, en parte, a que sus consecuencias no suelen ser tan evidentes como las de otras incapacidades.
* Estoy convencido que la gente responde mejor a los ejemplos ilustrativos que a las exposiciones generales.
* En mi opinión, algunos de los bloqueos para el manejo de los números ante la incertidumbre y las coincidencias, o al modo en que se ha planteado el problema.
* Una consecuencia del anumerismo de la que raramente se habla, es su conexión con la creencia en la pseudociencia.
* Hay un gran vacío que separa las valoraciones que hacen los científicos sobre determinados riesgos y la inquietud que éstos despiertan en la mayoría de la gente, vacío que a la larga nos puede producir, bien una ansiedad paralizante o infundada, bien unas demandas de seguridad absoluta económicamente inviables.
* Una de las aseveraciones en la que se insiste en el libro es que las personas anuméricas tienen una marcada tendencia a personalizar: su imagen de la realidad está deformada por sus propias experiencias.
* Siempre me sorprende y me deprime encontrar estudiantes que no tienen la menor idea de cuál es la población de los Estados Unidos, de la distancia aproximada entre las costas Este y Oeste, ni de qué porcentaje aproximado de la humanidad representan los chinos.
* Si uno no tiene cierta comprensión de los grandes números comunes, no reacciona con el escepticismo pertinente a informes aterradores como que cada año son raptados más de un millón de niños norteamericanos.
* Si uno no posee cierta comprensión de las probabilidades, los accidentes automovilísticos le pueden parecer un problema relativamente menor de la circulación local.
* También es típica la tendencia de sentir como iguales el riesgo de padecer cualquier enfermedad exótica rara y la probabilidad de tener una enfermedad circulatoria o cardíaca.
* Un patinazo entre millones y miles de millones, o entre miles de millones y billones debería hacernos reír y en cambio no es así, pues demasiado a menudo carecemos de una idea intuitiva de tales números.
* Un millón de segundos sólo duran aproximadamente once días y medio, mientras que para que pasen mil millones de segundos hay que esperar casi 32 años.
* Otras fuentes más comunes de números grandes son el billón de dólares del presupuesto federal y nuestra creciente reserva de armamento.
* Las armas nucleares que puede llevar un solo submarino Trident tienen un poder explosivo ocho veces mayor que el empleado en toda la segunda guerra mundial.
* ¿Cuántas pizzas se consumen anualmente en los Estados Unidos?¿Cuántas palabras lleva uno dichas a lo largo de su vida?¿Cuántos nombres de persona distintos salen cada año en el New York Time?¿Cuántas sandías cabrían en el Capitolio?¿Cuántos coitos se practican diariamente en el mundo? En general estos cálculos son muy fáciles.
* Siempre me ha chocado la inconsistencia que han mostrado los distintos autores en su empleo de los números grandes.
* Darse cuenta de inconsistencias internas es uno de los placeres menores de cierta cultura numérica.
* Lo importante no es que uno esté analizando permanentemente la consistencia y la plausibilidad de los números, sino que, cuando haga falta, pueda recoger información de los puros datos numéricos, y que pueda refutar afirmaciones, basándose sólo en las cifras que las acompañan.
* Si la gente estuviera más capacitada para hacer estimaciones y cálculos sencillos no se tendrían en consideración tantas opiniones ridículas.
* Al aumentar por cinco la altura de un hombre, su peso aumentará en un factor de 5^3, mientras que su capacidad para sostener peso aumentará sólo en un factor de 5^2.
* Aunque en la mayoría de situaciones los aumentos y disminuciones de escala dan primera aproximaciones razonablemente buenas, a menudo dan malos resultados.
* La arquimedianidad es una propiedad fundamental de los números, según la cual se puede rebasar cualquier número, por grande que sea, agregando repetidas veces cualquier número menor, por pequeño que éste sea.
* No es sencillo acostumbrarse al hecho de que los tiempos y distancias minúsculos de la microfísica, y también la inmensidad de los fenómenos astronómicos, comparten las dimensiones de nuestro mundo a escala humana.
* Estos cálculos llevan aparejada una sensación de poder que resulta difícil de explicar y que implica, en cierto modo, abarcar mentalmente el mundo.
* La llamada regla del producto es engañosamente simple y muy importante. Si una elección tiene M alternativas posibles y otra elección distinta tiene N, entonces la realización de ambas elecciones admite M x N alternativas distintas. Este principio es sumamente útil para el cálculo de grandes números.
* En el cálculo de probabilidades se puede emplear una variante de la regla del producto. Si dos acontecimientos son independientes la probabilidad de que ocurran ambos a la vez se calcula multiplicando las probabilidades de que ocurra cada uno de ellos por separado.
* Aplicando la regla del producto, el matemático John Von Neumann ideó un truco que permite que los contendientes usen una moneda cargada y sin embargo se obtengan resultados limpios. Se tira dos veces la moneda. Si salen dos caras o dos cruces, se vuelve a tirar otras dos veces. Si sale cara-cruz, gana la primera parte, si sale cruz-cara, gana la segunda. La probabilidad de ambos resultados es la misma, aun si la moneda está cargada.
* Un instrumento importante es la distribución binomial de probabilidades. Aparece siempre que consideramos una prueba o procedimiento que admite dos resultados, llamémosles “positivo” y “negativo”, y pretendemos conocer la probabilidad de que al cabo de una serie de N intentos se obtenga “positivo” en R de ellos.
* ¿Cuál es la probabilidad de que hayas inhalado por lo menos una de las moléculas que exhaló César en su último suspiro? La respuesta es sorprendentemente alta: más del 99 por ciento.
* Tanto si las llamamos coincidencias, sincronizaciones o ironías, resulta que son mucho más frecuentes que lo que la gente cree.
* Una de las principales características de las personas anuméricas es la tendencia a sobrestimar la frecuencia de las coincidencias. Generalmente dan mucha importancia a todo tipo de correspondencias, y en cambio, dan muy poca a evidencias estadísticas menos relumbrantes, pero absolutamente concluyentes.
* Pocas experiencias me descorazonan más que encontrarme con alguien que parece inteligente y abierto, que de pronto me pregunta por mi signo del zodíaco.
* ¿Cuántas personas habrá de tener el grupo para que la probabilidad de que por lo menos dos de ellas hayan nacido el mismo día sea del 50%? A primera vista uno diría que 183, la mitad de 366. La respuesta sorprendente es que sólo hacen falta 23.
* Mientras es probable que ocurra algún hecho improbable, lo es mucho menos que se dé un hecho concreto. La conclusión paradójica es que sería muy improbable que los casos improbables no ocurrieran. Son las predicciones concretas las que raramente se hacen realidad.
* Si suponemos que cada uno de los aproximadamente 200 millones de adultos que viven en los Estados Unidos conoce a unas 1500 personas, razonablemente dispersas por todo el país, entonces la probabilidad de que cada dos tengan un conocido en común es del uno por ciento, y la de que estén unidos por una cadena de dos intermediarios es mayor que el noventa y nueve por ciento.
* Hay una tendencia general muy fuerte a olvidar los fracasos y concentrarse en los éxitos y los aciertos. Los casinos abonan esta tendencia haciendo que cada vez que alguien gana parpadeen las lucecitas y la moneda tintinee en la bandeja de metal. Las pérdidas y los fracasos son silenciosos.
* Para casi cualquier magnitud que uno elija, el valor medio de una gran colección de medidas es aproximadamente el mismo que el valor medio de un pequeño conjunto, y en cambio el valor extremo de un conjunto grande es considerablemente más extremo que el de una colección pequeña.
* La gente sólo suele prestar atención a los vencedores y a los casos extremos.
* Lo que suele proporcionar más información son los valores medios o los valores “esperados”. El valor esperado de una cantidad es la media de los valores que toma, pesados según sus probabilidades respectivas.
* La rareza por sí misma no prueba nada. Cada mano de bridge es muy improbable. También lo son las manos de poker y los billetes de lotería.
* No se pueden sacar promedios de promedios.
* La creencia errónea de que el hecho de que hayan salido varias caras seguidas hace más probable que la próxima vez salga cruz se conoce como “sofisma del jugador”. Es tan probable que la diferencia entre caras y cruces aumente como que disminuya.
* No hay que confundir el sofisma del jugador con otro fenómeno, la regresión a la media, que sí se cumple.
* La mayoría de la gente no se da cuenta de que los sucesos aleatorios pueden presentar una apariencia completamente ordenada.
* Un comentarista casi nunca dice que la actividad de la bolsa de ese día o de tal semana ha obedecido, por lo general, a fluctuaciones aleatorias.
* Los grupos, series y pautas que presentan las sucesiones aleatorias son hasta cierto punto predecibles. Nos pueden servir para determinar si cierta sucesión de caras y cruces, o de aciertos y fallos, es debida al azar.
* Siempre he tenido la sospecha de que cosas como “racha de suerte” o “manitas” o un “equipo que siempre remonta”, no eran más que exageraciones de los periodistas deportivos. Seguramente tales expresiones signifiquen algo, pero demasiado a menudo sólo son fruto de un intento mental por descubrir un significado donde no hay más que probabilidad.
* Los acontecimientos raros, que son fruto del azar, no se pueden predecir individualmente. Lo que sí se puede describir en términos de probabilidad es la estructura de su aparición.
* Primero hay que conocer aproximadamente la improbabilidad del hecho y, una vez conocida, se puede usar esta información junto con la fórmula de Poisson, para tener una idea bastante aproximada de, por ejemplo, cuántos años pasarán sin que haya muertos por coz de caballo. En este sentido, podemos decir que hasta los sucesos raros son completamente predecibles.
* Isaac Asimov: “Examinad fragmentos de seudociencia y encontrareis un manto de protección, un pulgar que chupar, unas faldas a las que agarrarse. ¿Y qué ofrecemos nosotros a cambio? ¡Incertidumbre! ¡Inseguridad!
* William Cowper: “Guiarse por precedentes absurdos y cerrar los ojos es más fácil que pensar”.
* El anumerismo y la seudociencia suelen ir de la mano, debido en parte a lo fácil que es invocar la certidumbre matemática para obligar al anumérico a asentir estúpidamente ante cualquier afirmación.
* Las proyecciones estadísticas lineales se invocan a menudo tan a la ligera, que no sería de extrañar que algún día alguien dijera que el plazo de espera proyectado para un aborto es de un año.
* Popper ha criticado el freudismo por hacer predicciones y afirmaciones que son generalmente no falsables.
* No ha habido estudios reproducibles que hayan demostrado la validez de la parapsicología.
* El “efecto Jeane Dixon”, según el cual las relativamente pocas predicciones correctas son proclamadas a los cuatro vientos, y por tanto recordadas por mucha gente, mientras que las predicciones fallidas, mucho más numerosas, son convenientemente olvidadas y borradas.